📊 Grilla de Datos de Terreno

Edita los puntos de muestreo. Cada celda representa un píxel con valor de elevación.

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📌 Instrucciones:

  • Click/Arrastrar: Pintar puntos de control
  • Celdas grises: Sin dato (serán interpoladas)
  • Celdas de color: Puntos de muestreo conocidos

👁️ Vista Previa Rápida

IDW en tiempo real de los datos editados

Esta vista previa muestra la interpolación IDW. Ve a las otras pestañas para ver todos los métodos y el terreno 3D.

🗺️ Comparación de Métodos de Interpolación

Visualización en tiempo real de 6 algoritmos de interpolación espacial aplicados a los datos de control.

Diagrama de Voronoi

Vecino Cercano
Teselación por proximidad - cada celda adopta el valor del punto más cercano.

TIN (Triangulación)

Delaunay
Red de triángulos irregulares con interpolación baricéntrica lineal.

IDW

Distancia Inversa
2.0

Kriging Ordinario

Geoestadístico
Predicción óptima basada en autocorrelación espacial (variograma).

Topogrid (ANUDEM)

Hidrológico
Optimizado para representar correctamente el drenaje del terreno.

RST (Spline)

Tensión Regulada
40

🏔️ Modelo Digital de Elevación 3D

Visualización tridimensional interactiva del terreno interpolado.

1.5x

🖱️ Controles del Mouse:

  • Arrastrar: Rotar terreno
  • Scroll: Zoom in/out
  • Click derecho + arrastrar: Paneo
Rotación: 0° | Elevación: 45°

📚 Introducción a la Interpolación Espacial

¿Qué es la Interpolación Espacial?

La interpolación espacial es el proceso de estimar valores desconocidos de una variable en ubicaciones no muestreadas, basándose en valores conocidos de puntos muestreados cercanos. Es fundamental en la creación de Modelos Digitales del Terreno (MDT) y Modelos Digitales de Elevación (MDE).

Principio Fundamental

La interpolación se basa en la Primera Ley de la Geografía de Tobler:

"Todo está relacionado con todo lo demás, pero las cosas cercanas están más relacionadas que las cosas distantes."

Clasificación de Métodos

🔷 Métodos Determinísticos

  • Voronoi: Vecino más cercano
  • TIN: Triangulación
  • IDW: Distancia inversa ponderada
  • Splines: Funciones polinómicas

Usan funciones matemáticas directas sin considerar la estructura de autocorrelación espacial.

🔶 Métodos Geoestadísticos

  • Kriging Ordinario
  • Kriging Universal
  • Cokriging

Consideran la autocorrelación espacial y proporcionan estimaciones de incertidumbre.

Referencias Bibliográficas

  • Burrough, P.A. & McDonnell, R.A. (1998). Principles of Geographical Information Systems. Oxford University Press.
  • Isaaks, E.H. & Srivastava, R.M. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford University Press.
  • Li, J. & Heap, A.D. (2008). A Review of Spatial Interpolation Methods for Environmental Scientists. Geoscience Australia.
  • Mitas, L. & Mitasova, H. (1999). Spatial Interpolation. In Geographical Information Systems: Principles, Techniques, Management and Applications.

📐 Diagrama de Voronoi (Polígonos de Thiessen)

Fundamento Teórico

El diagrama de Voronoi, también conocido como polígonos de Thiessen o teselación de Dirichlet, particiona el espacio en regiones basadas en la distancia a un conjunto de puntos generadores.

Definición Matemática

Para un conjunto de puntos P = {p₁, p₂, ..., pₙ}, la celda de Voronoi V(pᵢ) se define como:

V(pᵢ) = {x ∈ ℝ² : d(x, pᵢ) ≤ d(x, pⱼ) para todo j ≠ i}

Donde d(x, p) es la distancia euclidiana entre x y p.

Algoritmo Paso a Paso

1

Identificar puntos de control

Obtener las coordenadas (x, y) y valores z de todos los puntos de muestreo conocidos.

2

Para cada celda de la grilla

Iterar sobre cada posición (i, j) de la grilla de salida que necesita ser interpolada.

3

Calcular distancias

Para cada celda, calcular la distancia euclidiana a todos los puntos de control:

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
4

Asignar valor del vecino más cercano

La celda adopta el valor z del punto de control con la menor distancia.

Ventajas y Limitaciones

✅ Ventajas

  • Computacionalmente simple y rápido
  • Preserva exactamente los valores de los puntos de control
  • No genera valores fuera del rango de los datos
  • Útil para datos categóricos

❌ Limitaciones

  • Produce discontinuidades abruptas en los bordes
  • No genera superficies suaves
  • Sensible a la distribución espacial de puntos
  • No considera la variabilidad espacial

🔺 TIN - Red de Triángulos Irregulares

Fundamento Teórico

El TIN (Triangulated Irregular Network) es una representación vectorial del terreno mediante una red de triángulos cuyos vértices son los puntos de muestreo. Utiliza la Triangulación de Delaunay para crear una malla óptima.

Criterio de Delaunay

Un conjunto de triángulos satisface el criterio de Delaunay si y solo si el círculo circunscrito de cada triángulo no contiene ningún otro punto del conjunto en su interior.

Esto maximiza el ángulo mínimo de todos los triángulos, evitando triángulos muy alargados.

Algoritmo Paso a Paso

1

Crear super-triángulo

Construir un triángulo lo suficientemente grande para contener todos los puntos de entrada.

2

Insertar puntos (Algoritmo de Bowyer-Watson)

Para cada punto P a insertar:

  • Encontrar todos los triángulos cuyo circumcírculo contiene a P
  • Eliminar estos triángulos, formando un "polígono hueco"
  • Crear nuevos triángulos conectando P con cada arista del polígono
3

Eliminar super-triángulo

Remover todos los triángulos que comparten vértices con el super-triángulo inicial.

4

Interpolación Baricéntrica

Para interpolar un punto (x, y):

  • Encontrar el triángulo que lo contiene
  • Calcular coordenadas baricéntricas (λ₁, λ₂, λ₃)
  • z = λ₁·z₁ + λ₂·z₂ + λ₃·z₃

Fórmulas de Interpolación Baricéntrica

Dado un triángulo con vértices (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) y un punto (x,y):

λ₁ = [(y₂-y₃)(x-x₃) + (x₃-x₂)(y-y₃)] / [(y₂-y₃)(x₁-x₃) + (x₃-x₂)(y₁-y₃)]
λ₂ = [(y₃-y₁)(x-x₃) + (x₁-x₃)(y-y₃)] / [(y₂-y₃)(x₁-x₃) + (x₃-x₂)(y₁-y₃)]
λ₃ = 1 - λ₁ - λ₂

📍 IDW - Inverse Distance Weighting

Fundamento Teórico

El método de Ponderación por Distancia Inversa (IDW) asume que las cosas que están más cerca son más similares que las que están más lejos. Los valores se interpolan usando un promedio ponderado donde los pesos son inversamente proporcionales a la distancia elevada a una potencia.

Ecuación Principal

Z(x₀) = Σᵢ [wᵢ · Zᵢ] / Σᵢ wᵢ

Donde el peso wᵢ se calcula como:

wᵢ = 1 / dᵢᵖ
  • Z(x₀): Valor estimado en la ubicación x₀
  • Zᵢ: Valor conocido en el punto i
  • dᵢ: Distancia entre x₀ y el punto i
  • p: Parámetro de potencia (típicamente 2)

Algoritmo Paso a Paso

1

Definir parámetro de potencia (p)

Seleccionar el valor de p. Valores típicos: 1, 2, 3. Mayor p = mayor influencia de puntos cercanos.

2

Para cada celda a interpolar

Inicializar acumuladores: sumWeights = 0, sumValues = 0

3

Calcular pesos para cada punto conocido

Para cada punto de control:

  • Calcular distancia: d = √[(x-xᵢ)² + (y-yᵢ)²]
  • Si d ≈ 0, usar valor exacto del punto
  • Calcular peso: w = 1/dᵖ
  • Acumular: sumWeights += w, sumValues += w × zᵢ
4

Calcular valor interpolado

Z = sumValues / sumWeights

Efecto del Parámetro p

p = 1 (Lineal)

Transiciones muy suaves entre valores. Mayor influencia de puntos distantes.

p = 2 (Cuadrático)

Balance típico. Estándar en la mayoría de aplicaciones SIG.

p > 3 (Alto)

Resultados similares a vecino más cercano. "Bull's eye" alrededor de puntos.

📊 Kriging - Interpolación Geoestadística

Fundamento Teórico

El Kriging, nombrado en honor a Danie Krige, es un método geoestadístico que proporciona la mejor estimación lineal insesgada (BLUE) basándose en la autocorrelación espacial de los datos, modelada mediante el variograma.

Ecuación del Kriging Ordinario

Z*(x₀) = Σᵢ λᵢ · Z(xᵢ)

Sujeto a: Σᵢ λᵢ = 1 (condición de insesgadez)

Los pesos λᵢ se obtienen minimizando la varianza del error de estimación.

El Variograma

El variograma describe cómo la variabilidad entre puntos cambia con la distancia.

Semivariograma Empírico

γ(h) = (1/2N(h)) · Σ [Z(xᵢ) - Z(xᵢ + h)]²

Donde N(h) es el número de pares de puntos separados por distancia h.

Parámetros del Variograma:

  • Nugget (C₀): Variabilidad a distancia cero (error de medición)
  • Sill (C + C₀): Varianza total alcanzada a grandes distancias
  • Range (a): Distancia a la cual se alcanza el sill

Algoritmo Paso a Paso

1

Calcular variograma empírico

Agrupar pares de puntos por distancia y calcular semivarianza para cada grupo.

2

Ajustar modelo teórico de variograma

Ajustar un modelo (esférico, exponencial, gaussiano) a los datos empíricos. Modelo esférico:

γ(h) = C₀ + C[1.5(h/a) - 0.5(h/a)³] para h ≤ a
3

Construir sistema de ecuaciones de Kriging

Para cada punto a estimar, construir la matriz de covarianzas K y el vector k₀:

[K | 1] [λ | μ]ᵀ = [k₀ | 1]
4

Resolver sistema y calcular estimación

Resolver el sistema lineal para obtener los pesos λᵢ y aplicarlos.

🌊 Topogrid (ANUDEM)

Fundamento Teórico

El método Topogrid, basado en el algoritmo ANUDEM (Australian National University Digital Elevation Model), está diseñado específicamente para crear MDEs hidrológicamente correctos. Fue desarrollado por Michael Hutchinson.

Principio Fundamental

Minimiza la siguiente función de rugosidad sujeta a restricciones de drenaje:

J = ∫∫[(∂²z/∂x²)² + 2(∂²z/∂x∂y)² + (∂²z/∂y²)²] dxdy

Combinado con la imposición de una estructura de drenaje coherente.

Características Especiales

  • Eliminación de sumideros: Identifica y elimina depresiones espurias que interrumpirían el flujo de agua.
  • Imposición de drenaje: Asegura que el agua fluya consistentemente hacia abajo.
  • Múltiples iteraciones: Refina progresivamente la superficie desde resoluciones gruesas a finas.
  • Integración de líneas de drenaje: Puede incorporar redes de drenaje conocidas como restricciones.

Algoritmo Paso a Paso

1

Interpolación inicial

Crear superficie inicial usando spline o IDW a resolución gruesa.

2

Iteración multinivel

Refinar la grilla progresivamente, aplicando en cada nivel:

  • Suavizado con énfasis en drenaje
  • Detección de sumideros
  • Imposición de conectividad de flujo
3

Eliminación de sumideros

Para cada celda, verificar si es un mínimo local:

  • Si todos los vecinos son más altos → es un sumidero
  • Elevar la celda hasta que tenga un camino de salida
4

Suavizado con sesgo de drenaje

Aplicar filtro que favorece valores más bajos de los vecinos:

Z' = α·Z_avg + (1-α)·Z_min

Donde α controla el balance entre suavizado y drenaje.

〰️ RST - Regularized Spline with Tension

Fundamento Teórico

El método RST (Spline Regularizado con Tensión) interpola usando funciones de base radial con parámetros que controlan la suavidad y tensión de la superficie resultante. Desarrollado por Mitasova y Mitas.

Función de Interpolación

Z(x) = T(x) + Σⱼ λⱼ · R(x, xⱼ)
  • T(x): Función de tendencia (polinomio de bajo orden)
  • R(x, xⱼ): Función de base radial
  • λⱼ: Coeficientes a determinar

Función de Base Radial con Tensión

Spline de Placa Delgada con Tensión

R(r) = -[ln(φr/2) + Cₑ]/(2π) + K₀(φr)/(2π)
  • r: Distancia al punto de control
  • φ: Parámetro de tensión
  • Cₑ: Constante de Euler (≈ 0.5772)
  • K₀: Función de Bessel modificada de segunda clase

Efecto del Parámetro de Tensión

φ → 0 (Baja tensión)

Superficie muy suave tipo "placa delgada". Puede presentar oscilaciones y overshooting.

φ → ∞ (Alta tensión)

Superficie más rígida, se aproxima a interpolación lineal. Menos overshooting pero puede perder detalle.

Algoritmo Paso a Paso

1

Definir parámetros

Establecer tensión (φ) y suavizado (λ) según las características deseadas de la superficie.

2

Construir matriz de coeficientes

Para n puntos de control, crear matriz A de n×n donde:

Aᵢⱼ = R(||xᵢ - xⱼ||) + δᵢⱼ·(suavizado)
3

Resolver sistema lineal

Resolver A·λ = z para obtener los coeficientes λⱼ.

4

Evaluar superficie

Para cada punto de la grilla, calcular:

Z(x,y) = Σⱼ λⱼ · R(||(x,y) - (xⱼ,yⱼ)||)